Harri Mäki aloitti klarinettiopintonsa Suomessa pääasiassa Kari Kriikun ja Reijo Koskisen johdolla sekä opiskeli myös Osmo Vänskän ohjauksessa. Myöhemmin hän jatkoi yksityisopintojaan Charles Neidichin kanssa. Valmistuttuaan Thomas Friedlin luokalta Geneven konservatoriosta hän liittyi Tapiola Sinfoniettan sooloklarinetistiksi, tehtävässä, jota hän hoiti vuosina 1988–2018.

Uransa aikana Harri Mäki on kantaesittänyt lukuisia klarinettiteoksia, mukaan lukien Juhani Nuorvalan ja Kirmo Lintisen hänelle omistamat konsertot. Hän on tehnyt tiivistä taiteellista yhteistyötä säveltäjien, kuten Magnus Lindbergin, Kaija Saariahon, Minna Leinosen, Matilda Seppälän, Eero Hämeenniemen, Helmut Lachenmannin, Matthew Whittallin ja Anders Hillborgin, kanssa. Hän on esiintynyt sekä solistina että kamarimuusikkona Euroopassa, Kaukoidässä, Pohjois-Amerikassa ja Etelä-Amerikassa ja ollut kysytty klarinetisti kansainvälisillä musiikkifestivaaleilla ympäri maailmaa.

Esiintymistoimintansa ohella Harri Mäki toimi Crusell-musiikkijuhlien taiteellisena johtajana vuosina 2011–2017 ja on johtanut Sibelius Summer Academy for Woodwinds -kesäakatemiaa vuodesta 2019 lähtien. Hän on myös toiminut puheenjohtajana lukuisissa kansainvälisissä kilpailutuomaristoissa sekä tukenut aktiivisesti nuoria muusikoita eri tehtävissä kansallisissa kulttuurisäätiöissä.

Vuodesta 2016 lähtien Harri Mäki on toiminut puupuhaltimien professorina Sibelius-Akatemiassa. Monet hänen klarinettistudiossaan vuodesta 1995 opiskelleet muusikot ovat menestyneet orkesterien koesoitoissa ja kansainvälisissä kilpailuissa. Hänellä on kansainvälinen maine pedagogina, ja hän pitää mestarikursseja eri puolilla maailmaa ympäri vuoden. Tunnustuksena ansioistaan esiintyjänä ja pedagogina hänelle myönnettiin Pro Musica -palkinto vuonna 2012.